定點數小數表示法

主題：定點數小數表示法
使用範圍：使用整數運算系統下之小數運算
參考資料：嵌入式系統構件 Jean J. Labrosse原著 黃文增譯 全華科技圖書出版
原理說明：
先復習一下計算機概論，有許多人都還給老師了。"^"表示次方運算
101.101b=2^2+2^0+2^-1+2^-3=5.625
現在是如何運用到FPGA上了。其實這個問題在之前的定點數DSP就遇過了，只是後來應用變少了。現在的FPGA又要用，捲土重來。
我們知道FPGA對於整數系統的加減法是可以，但是遇到小數有些人就不知該如何。其實不難，只要在整數運算系統上加上小數點就行了。
例如101.1b+101.1b=1011.0b，可以發現去掉小數點就和整數運算沒有兩樣。意指，只要將小數點那個位數對齊就可以了，使用移位對FPGA是很容易的。
但是整數運算使用為小數要標示小數位置，所以引入類似科學記號表示法。我們知道科學表示法為<尾數>E<指數>，例:3E3=3*10^3=3000，E表示10的次方。
定點數的表示法符號為S，表示法為<尾數>S<指數>，S表示為2的次方。舉例2.5S3=2.5*2^3=2.5*8=20。
在基本數學運算下的處理為：
1.加減法
處理方式是將小數位數對齊再做運算。例:10S3+3S2=20S2+3S2=23S2
2.乘除法
乘法時要將指數相加，尾數相乘。例:2S3*3S2=6S5
除法時要將指數相減，尾數相除。例:2S3/3S2=0.66S1
3.開根
主要是推導數學運算對指數的影響。
sqrt(aSb)=sqrt(a)*sqrt(2^b)=sqrt(a)*2^(b/2)
可以發現在開根時指數是除2，尾數直接開根。
4.小數精度的選用
為了符合精度，要如何選用指數範圍。我們使用定點數其精度取決於二進位小數取多少位。
例如若是使用S-4為其指數，每二數之間最小距離為2^-4=0.0625。此為S-4下的精度。
對應十進位精度可以使用log(精度)/log(2)去計算要使用的指數。
使用精度0.1則S取用為log(0.1)/log(2)=-3.32，則使用S-4為其數值格式，就夠用了。
5.數值範圍
因為定點數是有限的位元組成，也是有限的數字集合及有限的可使用範圍，一但超過範圍的數也無法表示。也就是在運算上有可能會產生縊位問題，而造成非預期結果。
所以只可以使用在變動不大的運算上。所以要考量使用的數值範圍及使用精度，這方面是定點數在使用前要考量好的。
定點數應用例：
已知機器運算只能使用整數的狀況下，要使用小數，則是使用負的S指數，將尾數變成整數。尾數送入機器去運算；指數則是人工管理。
例：r=10.1求圓面積area，假設輸出入需求精度為0.1
解答：精度為0.1則，log(0.1)/log(2)=-3.32，故選用的S指數要到S-4可以達成。
pi=3.1416=50S-4(四捨五入)
r=10.1=162S-4(四捨五入)
area=pi*r*r=50S-4*162S-4*162S-4=1312200S-12=5126S-4(四捨五入)
換算為320.375
實際為320.47386659269480825557425152834
只有精準到整數，是因為所有數值精確度只有到0.1，誤差是0.05，運算來源有三個，故最大誤差為0.15，所以符合誤差範圍。
由算式可以得知機器只計算50*162*162，解讀結果需右移8位元含四捨五入，輸出結果為S-4格式。
小技巧：
定點數之計算可以使用小算盤來算。將小算盤設定為工程型。使用二進位顯示就可以將十進位轉成二進位。
因二進位只能使用整數，所以要先轉成整數才可以顯示。
例如：pi的取用。
pi取S-4結果為何?先取出pi=3.1415926535897932384626433832795
若我們使用精度為Qword則有64位元可以用，可以先乘上2^32，取用4相關的指數，可以在顯示時容易找到小數點位置。
結果為13493037704.522018958598982648896
直接按二進位，結果為11 0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000
找到小數點位置後可以發現是110010bS-4
輸入110010按十進位可得50，我們可知pi=50S-4
另外pi常有人用201/64來表示，其實是使用S-6的格式，可以看上面的值找出pi=11001001bS-6=201S-6
另外四捨五入在二進位很容易做，只要看取需要取用的小數精度下一位是否為1，若是則結果加一，不是則捨棄。
但會引發另一問題，剛好尾數LSB為多個1連續，則會進位。
以pi為例取S-10至S-15四捨五入後表示的數皆相同，都會和S-10完全一樣，精度沒有增加，pi皆為3217S-10，就算是寫成不同的S值，如12868S-12，仍等於3217S-10。